پاسخ کاردرکلاس صفحه 97 حسابان دوازدهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 97 حسابان دوازدهم سلام! این تمرین مهارت شما را در استفاده از **قواعد مشتق‌گیری ترکیبی**، شامل قاعده زنجیره‌ای و قاعده ضرب، می‌سنجد. 💡 --- ## الف) $f(x) = (x^2 + 1)^2 (5x - 1)$ این مشتق **حاصل ضرب** دو تابع است: $u = (x^2 + 1)^2$ و $v = 5x - 1$. قاعده: $$(uv)' = u'v + uv'$$ ### گام 1: محاسبه مشتق اجزا ($u'$ و $v'$) * **مشتق $u$ (با قاعده زنجیره‌ای):** $$u' = \frac{d}{dx} (x^2 + 1)^2 = 2(x^2 + 1)^1 \cdot \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2(x^2 + 1)(2x) = 4x(x^2 + 1)$$ * **مشتق $v$:** $$v' = \frac{d}{dx} (5x - 1) = 5$$ ### گام 2: اعمال قاعده حاصل ضرب $$f'(x) = 4x(5x - 1) + [(x^2 + 1)^2](5)$$ ### گام 3: ساده‌سازی و فاکتورگیری از **$(x^2 + 1)$** فاکتور می‌گیریم: $$f'(x) = (x^2 + 1) 4x + 5$$ $$f'(x) = (x^2 + 1) [20x^2 - 4x + 5x^2 + 5]$$ $$f'(x) = (x^2 + 1) (25x^2 - 4x + 5)$$ $$\mathbf{f'(x) = (x^2 + 1) (25x^2 - 4x + 5)}$$ --- ## ب) $g(x) = \cos^2 x$ این تابع به صورت $g(x) = (\cos x)^2$ است و باید از **قاعده زنجیره‌ای** استفاده کنیم: $$(u^n)' = n u^{n-1} u'$$. در اینجا، $u = \cos x$ و $n = 2$. 1. **اعمال قاعده:** $$g'(x) = 2(\cos x)^{2-1} \cdot \frac{d}{dx} (\cos x)$$ 2. **محاسبه مشتق داخلی:** $\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$ 3. **جایگذاری:** $$g'(x) = 2(\cos x) (-\sin x) = -2 \sin x \cos x$$ **یادآوری (اختیاری):** از اتحاد $2\sin x \cos x = \sin 2x$، می‌توانیم بنویسیم: $$\mathbf{g'(x) = -\sin 2x}$$ --- ## پ) $h(x) = \sin(3x^2 + 5)$ این مشتق **قاعده زنجیره‌ای** است: $$(\sin(u))' = \cos(u) \cdot u'$$. در اینجا، $u = 3x^2 + 5$. 1. **مشتق داخلی ($u'$):** $$u' = \frac{d}{dx} (3x^2 + 5) = 6x$$ 2. **اعمال قاعده:** $$h'(x) = \cos(3x^2 + 5) \cdot u'$$ $$h'(x) = \cos(3x^2 + 5) \cdot (6x)$$ $$\mathbf{h'(x) = 6x \cos(3x^2 + 5)}$$